Tvær fullyrðingar hafa heyrst aftur og aftur í umræðunni um námsefni síðustu vikur:
„Það þarf að bjóða upp á fjölbreyttara námsefni.“
„Námsbækur barna eru búnar til löngu áður en mamma og pabbi fæddust.“
Báðar hljóma sakleysislega. En báðar missa marks af nákvæmlega sömu ástæðu: þær mæla námsefni á röngum kvarða.
Spurningin á ekki að vera hvort efnið sé fjölbreytt eða gamalt.
Spurningin á að vera: styður efnið við það hvernig börn læra? Allt annað er aukaatriði. Bók getur verið splunkuný, litrík og full af skapandi verkefnum og samt verið slæmt námsefni og bók getur verið eldri en foreldrarnir og verið með því besta sem til er.
„Fjölbreytt“ er ekki markmið
Þegar talað er um fjölbreytt námsefni er sjaldan átt við fjölbreytni sem skilar námsárangri. Oftast er átt við eitthvað sem kennurum finnst skemmtilegt og skapandi.
En fjölbreytni er ekki gæðamerki og á ekki að vera markmið í sjálfu sér. Markmiðið er að nemandinn læri og nái tökum á efninu þannig að það festist í langtímaminni. Þegar „fjölbreytt“ verður að markmiði laumast inn forgangsröðun sem snýr öllu á hvolf, þar sem skemmtilegt og skapandi er sett ofar því sem skilar árangri.
Við eigum því ekki að spyrja hvort efnið sé fjölbreytt. Við eigum að spyrja hvort það sé gagnreynt (e. evidence-based) og hannað af fólki sem þekkir rannsóknir á því hvernig við lærum.
Gömul bók getur verið betri en ný
Bækurnar sem helst hefur verið vísað til sem „of gamlar“ eru Almenn stærðfræði. Það er athyglisvert, því þetta eru góðar námsbækur og að mörgu leyti betri en nýrri bækur sem hafa verið samdar eða þýddar á síðustu árum.
Þegar gömul og vönduð bók er gagnrýnd fyrir aldurinn einan, frekar en innihaldið, segir það mér eitt: sá sem gagnrýnir veit ekki hvað gerir stærðfræðibók góða. Aldur er einfaldlega rangur mælikvarði. Sumar nýrri bækurnar standa eldri bókunum að baki, ekki vegna þess að þær séu nýjar, heldur vegna þess hvernig þær eru byggðar upp.
Hvað einkennir gott námsefni í stærðfræði?
Eiginleikarnir hér að neðan eru ekki tilviljanakenndur listi yfir það sem mér finnst gott. Þeir fylgja kennslustigveldinu (e. instructional hierarchy), þ.e. því hvernig nemandi færist frá því að kynnast nýju efni yfir í að valda því af öryggi. Hvert stig kallar á ólíka tegund af æfingu og gott námsefni styður við öll stigin.
Þegar nemandi er að ná tökum á nýju efni (öflun, e. acquisition):
- Efnið er kennt í litlum skrefum.
- Lítið er um liti, blóm og skraut sem dregur athyglina frá því sem verið er að kenna. Skreyting er ekki hlutlaus, rannsóknir sýna að hún eykur álag á vinnsluminnið (e. cognitive load) án þess að bæta nám.
- Mikið er af sýnidæmum (e. worked examples). Rannsóknir sýna að vel útfærð sýnidæmi virka betur en að nemendur þurfi að finna út úr því sjálfir.
- Mörg eins dæmi í röð, á meðan nemandinn er að ná tökum á aðferðinni, áður en flækjustigið er aukið.
Þegar nákvæmni er náð (fimi, e. fluency):
- Þegar nemandi reiknar rétt í um 80% tilvika er kominn tími á að þjálfa fimi. Nemandinn þarf að fá tækifæri til að æfa sig í að leysa dæmin með skilvirkum hætti og ná ákveðnum hraða, til að minnka hugrænt álag á vinnsluminnið þegar farið er í flóknara efni.
Til að festa efnið og yfirfæra það (alhæfing, e. generalization):
- Æfingapróf með reglulegu millibili, sem festa efnið í langtímaminni (prófunaráhrif, e. retrieval practice og practice test).
- Upprifjun á eldra efni, dreifð yfir langt tímabil (dreifð æfing, e. spaced practice) frekar en að efni sé kennt í einni lotu og svo aldrei rifjað upp aftur.
- Blönduð dæmi (e. interleaving), þar sem nemandinn þarf sjálfur að átta sig á því hvaða aðferð á við hverju sinni.
Tvennt hér gæti virst stangast á: mörg sambærileg dæmi annars vegar og blönduð dæmi hins vegar. Það gerir það ekki. Þau tilheyra ólíkum stigum. Sambærileg dæmi eru nauðsynleg þegar nemandinn er að læra aðferðina; blönduð dæmi eru nauðsynleg þegar hann er búinn að ná aðferðunum og þarf að læra að velja á milli aðferða. Að rugla þessu saman, að vera með blönduð dæmi of snemma, er ein algengasta villan í námsefnisgerð.
Þetta er það sem rannsóknir á námi segja okkur. Þetta er ekki mín skoðun.
Kennarar eiga almennt ekki að búa til stærðfræðiefni sjálfir
Ég ætla ekki að hafa skoðun á námsefni í öðrum greinum en stærðfræði. En í stærðfræði er afstaða mín skýr: kennarar eiga almennt ekki að hanna sitt eigið námsefni.
Þetta er ekki vantraust á kennara. Það er virðing fyrir því að námsefnishönnun er sérhæfð fræði. Það sem mörgum finnst skemmtilegt og sniðugt er ekki endilega það sem gagnreyndar rannsóknir sýna að virki best. Rannsóknir sýna einmitt að það sem truflar stærðfræðinám eru litrík verkefni, fjölbreyttar aðferðir og uppgötvunarmiðuð verkefni. Þegar hver kennari býr til sitt eigið efni þá fáum við fjölbreytni, en við fáum ekki gæði og við fáum ekkert samræmi milli skóla.
Aðalnámskráin er ekki góður grunnur
Námsefni á að styðja við aðalnámskrá grunnskóla. Það er sjálfsagt. En þar liggur líka vandinn, þar sem aðalnámskráin styður ekki við það hvernig sé best að læra.
Það er til dæmis engin raunveruleg áhersla á að þjálfa fimi. Nemandi má eyða heilli kennslustund í að leysa eina einfalda jöfnu, svo lengi sem hann notar „sína eigin aðferð“. Það er ekki kennslufræði sem byggir á því hvernig heilinn lærir stærðfræði.
Þess vegna dugar ekki að segja „námsefnið á að styðja við aðalnámskrána“ og láta þar við sitja. Í okkar tilfelli þarf hönnun á námsefni að koma frá rannsóknum á námi.
Meira fjármagn er ekki sama og betra efni
Markmiðið mitt með þessum pistli er að leggja áherslu á að við megum ekki bara hugsa um að dæla fjármagni í námsefnisgerð. Það skiptir öllu máli að þessum peningum sé vel varið og nýtt til að þýða efni sem er gagnreynt og styður við hvernig heilinn lærir nýtt efni og festir það í minni. Sem sagt, aukið magn til námsefnisgerðar þýðir ekki betra námsefni.
Það er auðvelt að dæla peningum í námsefnisgerð og enda með meira af því sem virkar ekki. Spurningin er ekki hve mikið við setjum í þetta, heldur í hvað við setjum þá. Ég vil frekar sjá að vandað, gagnreynt efni sé þýtt (uppfyllir öll skilyrðin hér að ofan) en að fjármagni sé varið í að búa til mikið af nýju efni sem er fjölbreytt og skemmtilegt, en stenst ekki þær kröfur sem rannsóknir sýna að skili árangri í námi nemenda.
Við höfum ekki efni á að fjárfesta í því sem kennurum finnst sniðugt. Við höfum aðeins efni á því sem skilar nemendum árangri.
Næst þegar þú heyrir kallað eftir „fjölbreyttu námsefni“ eða heyrir bók afgreidda sem „of gamla“ spyrðu þig: er þetta mælt á réttum kvarða?
Eina spurningin sem skiptir máli er hvort efnið sé byggt á því hvernig börn læra.
Bestu kveðjur,
Gyða stærðfræðikennari
hjá stærðfræði.is
PS. Ég hef tekið námskeið sem snúa að gagnreyndum aðferðum í stærðfræðikennslu og hvað einkennir gott kennsluefni í stærðfræði (í Háskóla Íslands og háskóla í Ástralíu). Hérna eru heimildir sem áhugasamir geta skoðað betur og tengjast efni þessa pistils:
Agarwal, P. K. og Bain, P. M. (2019). Powerful teaching: Unleash the science of learning. Jossey-Bass. https://doi.org/10.1002/9781119549031
Barbieri, C. A., Miller-Cotto, D., Clerjuste, S. N., og Chawla, K. (2023). A meta-analysis of the worked examples effect on mathematics performance. Educational Psychology Review, 35(1), Article 11. https://doi.org/10.1007/s10648-023-09745-1
Douglas, G. P., Myers, J. A., Mason, K. K., Powell, S. R., og Lariviere, D. O. (2026). A meta-analysis of mathematics fact fluency interventions for students with mathematics difficulties (MD). Journal of Learning Disabilities. https://doi.org/10.1177/00222194261424914
Fuchs, L. S., Fuchs, D., Compton, D. L., Powell, S. R., Seethaler, P. M., Capizzi, A. M., Schatschneider, C., og Fletcher, J. M. (2006). The cognitive correlates of third-grade skill in arithmetic, algorithmic computation, and arithmetic word problems. Journal of Educational Psychology, 98(1), 29–43. https://doi.org/10.1037/0022-0663.98.1.29
Haring, N. G., og Eaton, M. D. (1978). Systematic instructional procedures: An instructional hierarchy. In N. G. Haring, T. C. Lovitt, M. D. Eaton, og C. L. Hansen (Eds.), The fourth R: Research in the classroom (pp. 23–40). Charles E. Merrill.
Kaminski, J. A., og Sloutsky, V. M. (2013). Extraneous perceptual information interferes with children’s acquisition of mathematical knowledge. Journal of Educational Psychology, 105(2), 351–363. https://doi.org/10.1037/a0031040
Kaminski, J. A., Sloutsky, V. M., og Heckler, A. F. (2008). The advantage of abstract examples in learning math. Science, 320(5875), 454–455. https://doi.org/10.1126/science.1154659
Kirschner, P. A., Sweller, J., og Clark, R. E. (2006). Why minimal guidance during instruction does not work: An analysis of the failure of constructivist, discovery, problem-based, experiential, and inquiry-based teaching. Educational Psychologist, 41(2), 75–86. https://doi.org/10.1207/s15326985ep4102_1
McNeil, N. M., Uttal, D. H., Jarvin, L., og Sternberg, R. J. (2009). Should you show me the money? Concrete objects both hurt and help performance on mathematics problems. Learning and Instruction, 19(2), 171–184. https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2008.03.005
Rosenshine, B. (2012). Principles of instruction: Research-based strategies that all teachers should know. American Educator, 36(1), 12–19, 39. https://www.aft.org/ae/spring2012/rosenshine
Sweller, J., Clark, R. E., og Kirschner, P. A. (2010). Teaching general problem-solving skills is not a substitute for, or a viable addition to, teaching mathematics. Notices of the American Mathematical Society, 57(10), 1303–1304. https://www.ams.org/notices/201010/rtx101001303p.pdf
Willingham, D. T. (2017). Ask the cognitive scientist: Do manipulatives help students learn? American Educator, 41(3), 25–32, 40. https://www.aft.org/ae/fall2017/willingham