Ég fæ stundum til mín nemendur sem hafa árum saman fengið að reikna í friði og finna út úr hlutunum sjálfir, án nokkurra afskipta. Þeir hafa kannski fengið hrós fyrir að vera sjálfstæðir og vinnusamir.
En ferlið hjá þeim hefur verið svona: reikna dæmi → fá rangt svar → búa til sína eigin reglu sem skilar rétta svarinu.
Og svo byggja þeir ofan á þá reglu. Ár eftir ár.
Uppgötvunarnám snýst að miklu leyti um að finna út úr hlutunum sjálfur, og það getur verið frábært. En án endurgjafar er hættan sú að nemandinn festi í minni sínu aðferð sem gengur einfaldlega ekki upp. Í hópavinnu getur þetta svo magnast upp þegar nemandi sem er fullur sjálfstrausts fer að kenna hinum í hópnum sínar tilbúnu reglur.
Og það er rosalega erfitt að aflæra það sem maður er búinn að ákveða að virki.
Í fræðaheiminum er í dag frekar talað um „practice makes permanent“ frekar en „practice makes perfect“. Æfingin skapar ekki meistarann ef þú færð enga endurgjöf á hvort þú sért að gera rétt. Þá ertu bara að styrkja það sem er rangt.
Rannsóknir sýna að nemendur þurfa að fá endurgjöf fljótt, einmitt til að vitleysan festist ekki. Því þegar stærðfræðin þyngist eru þeir farnir að byggja ofan á vitleysuna.
Sem betur fer er þetta ekki mjög algengt. En í hverjum 20 nemenda hópi eru yfirleitt 2–3 nemendur sem hafa byggt upp sinn eigin stærðfræðiheim með eigin reglum sem ganga engan veginn upp. Það getur verið ansi snúið fyrir kennara að leiðrétta margra ára misskilning.
En svo er annars konar misskilningur, mun algengari, sem tengist grunntalnaskilningi. Stór hluti nemenda í framhaldsskóla er enn óöruggur með hvernig mínus virkar. Þeir hafa lært að „mínus og mínus er plús“ og beita þeirri reglu svo þegar þeir leggja saman tvær neikvæðar tölur: −3 + (−5) verður þá 8 í stað −8. Aðrir halda að ef mínustalan er á undan í samlagningu hljóti svarið alltaf að vera mínus, sama hversu há plústalan er. Þá er −3 + 20 „örugglega“ mínus (en svarið er auðvitað 17).
Þetta er alvarlegt, því það situr í þeim. Þegar nemendur byrja í algebru verður enn erfiðara að vinda ofan af þessum misskilningi. Miðað við mína reynslu hafa um 80% nemenda á fyrsta þrepi í framhaldsskóla ekki náð nógu góðum tökum á því hvernig mínus virkar í samlagningu og margföldun. Þetta er tölfræði sem ég held sjálf utan um, því ég skrái hjá mér hversu margir nemendur gera einmitt þessar villur á prófum.
Þess vegna byrja ég næstum alla stærðfræðitíma í kennslustofu á upprifjun á einföldum plús- og mínusdæmum, þar sem nemendur skrifa svörin sín á litlu tússtöflurnar sínar. Ég sé þá strax hvað er að gerast hjá hverjum og einum og næ að leiðrétta það um leið. En samt, þegar kemur að prófi þá „klikka“ allt of margir á einmitt þessum einföldu dæmum.
Niðurstaðan er þessi: þegar nemendur læra nýtt efni þurfa þeir skýra og góða kennslu. Á þessu stigi er mjög mikilvægt að þeir fái strax endurgjöf ef þeir eru að misskilja, til að koma í veg fyrir að þeir þjálfi upp fimi í því sem er rangt.
Það er auðvelt að halda að þetta eigi bara við um nemendur sem gengur illa. En nemandinn sem kennarar ná oftast ekki til er vinnusami nemandinn. Sá sem vinnur einn, klárar hratt og biður aldrei um hjálp. Hann fær engan til að segja sér að reglan hans sé röng og æfir hana þess vegna aftur og aftur, af fullu öryggi.
Æfingin skapar ekki meistarann. Æfingin festir í minni það sem þú ert að æfa.
Ertu með einhverjar spurningar? Ef svo er, hikaðu ekki við að hafa samband með því að svara þessum pósti.
Bestu kveðjur,
Gyða stærðfræðikennari
hjá stærðfræði.is
PS. Skólaárið er komið á fullt og núna er frábær tími til að spyrja sig: hvernig stendur unglingurinn minn í stærðfræði? Ef þú átt ungling í 7.–10. bekk sem þarf að styrkja grunninn og fá tækifæri til að þjálfa upp fimi, skráðu þá netfangið þitt á Láta-vita póstlistann minn fyrir næsta námskeið.
PPS. Heimildaskrá, fyrir þá sem vilja lesa sér meira til um þetta áhugaverða efni
Brown, J. S., & Burton, R. R. (1978). Diagnostic models for procedural bugs in basic mathematical skills. Cognitive Science, 2(2), 155–192. https://doi.org/10.1207/s15516709cog0202_4
Brautryðjendagrein. Rannsakendurnir greindu þúsundir nemenda í frádrætti og sýndu að villur eru sjaldnast handahófskenndar: nemendur læra kerfisbundnar rangar reglur („bugs“) sem þeir beita stöðugt og af öryggi.
Brown, J. S., & VanLehn, K. (1980). Repair theory: A generative theory of bugs in procedural skills. Cognitive Science, 4(4), 379–426. https://doi.org/10.1207/s15516709cog0404_3
Greinin útskýrir hvernig nemandi sem lendir í ógöngum með reglu sem hann kann ekki til fulls „gerir við“ hana sjálfur og festir þannig ranga aðferð í minni.
Mazzocco, M. M. M., Murphy, M. M., Brown, E. C., Rinne, L., & Herold, K. H. (2013). Persistent consequences of atypical early number concepts. Frontiers in Psychology, 4, Article 486. https://doi.org/10.3389/fpsyg.2013.00486
Langtímarannsókn sem sýnir að rangar eða gallaðar talnahugmyndir hjá nemendum í 3. bekk festast í langtímaminni og birtast aftur fimm árum síðar, bæði í minni nákvæmni og í tegund villna sem sömu nemendur gera í hugarreikningi í 8. bekk.
Metcalfe, J. (2017). Learning from errors. Annual Review of Psychology, 68(1), 465–489. https://doi.org/10.1146/annurev-psych-010416-044022
Þessi grein er ekki í mótsögn við það sem ég er að segja, en bendir þó á að villur við nám eru ekki skaðlegar í sjálfu sér þær eru gagnlegar, að því gefnu að leiðrétting fylgi. Villur sem nemandi gerir af mikilli vissu leiðréttast meira að segja best. Hún gagnrýnir beinlínis þá hefð bandarískra skóla að forðast villur.
Ni, Y., & Zhou, Y.-D. (2005). Teaching and learning fraction and rational numbers: The origins and implications of whole number bias. Educational Psychologist, 40(1), 27–52. https://doi.org/10.1207/s15326985ep4001_3
Fer yfir hvernig röng alhæfing á reglum almennra brota og heilla talna lifir fram á fullorðinsár, jafnvel hjá stærðfræðingum við tímamælingar.
Roediger, H. L., III, & Marsh, E. J. (2005). The positive and negative consequences of multiple-choice testing. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 31(5), 1155–1159. https://doi.org/10.1037/0278-7393.31.5.1155
Greinin fer yfir hvernig rangt svar getur skapað falska þekkingu. Villusvör úr krossaprófi skiluðu sér inn í seinni próf viku síðar.