Hvernig myndir þú bregðast við ef píanókennarinn hjá barninu þínu ákvæði að fyrsti píanótíminn yrði að spila á tónleikum, með þeim rökum að raunveruleg verkefni kenni mest?
Þú myndir líklega mótmæla. Við vitum öll í hvaða röð tónlistarnám fer fram:
- Fyrst lærir barnið að lesa nóturnar og hvar fingurnir eiga að vera.
- Svo æfir það tónstiga og einföld lög aftur og aftur, þar til það þarf ekki lengur að hugsa um hvar hver nóta er.
- Svo spilar það ný og ólík lög.
Loks getur það spilað á tónleikum, spunnið og brugðist við ef eitthvað fer úrskeiðis.
Þannig lærum við stærðfræði líka. En aðalnámskrá grunnskóla gerir ráð fyrir einhverju allt öðru.
Þetta er fyrsti pósturinn af þremur. Í dag fjalla ég um aðalnámskrána, í næstu viku um kennslubækurnar og í þriðja pósti um hvernig hægt er að kenna stærðfræði í samræmi við það sem rannsóknir segja okkur um nám.
Ég fór í gegnum stærðfræðikafla aðalnámskrár grunnskóla og skoðaði hvað þar stendur í raun. Allt sem er innan gæsalappa hér að neðan er orðrétt úr námskránni.
Fjögur stig náms
Árið 1978 lýstu Haring og Eaton því sem kallað er kennslustigveldið (e. instructional hierarchy). Það lýsir þeim stigum sem nemandi fer í gegnum þegar hann lærir eitthvað nýtt:
- Tileinkun (e. acquisition). Nemandinn er að ná skilningi á nýju efni. Hann gerir enn villur og þarf skýra leiðsögn.
- Fimi (e. fluency). Nemandinn leysir verkefnin rétt og æfir sig nú þar til hann getur það hratt og örugglega. Markmiðið er að draga úr hugrænu álagi (e. cognitive load) svo vinnsluminnið nýtist í það sem síðar byggir ofan á efninu.
- Yfirfærsla (e. generalization). Nemandinn notar það sem hann kann í nýju samhengi.
- Aðlögun og þrautalausnir (e. adaptation and problem solving). Nemandinn beitir þekkingu sinni á ný og óvenjuleg viðfangsefni.
Röðin skiptir máli. Nemandi sem enn gerir villur á ekki að fara að þjálfa fimi, því hann þarf fyrst að ná að leysa dæmin rétt. Nemandi sem veit lítið um efnið getur heldur ekki hugsað mikið um það. Að byrja á þrautalausnum er eins og að senda barnið á tónleika í fyrsta píanótímanum.
Aðalnámskráin lítur öðruvísi á málið. Þar segir að nám sé „samfellt ferli og skapandi athöfn fremur en söfnun afmarkaðrar þekkingar og þjálfun í tiltekinni leikni“. Þjálfun er með öðrum orðum sett fram sem andstæða góðs náms. Rannsóknir á því hvernig við lærum segja okkur hið gagnstæða.
1. Fimi er aðeins ætluð þeim bestu
Matsviðmið námskrárinnar lýsa því hvaða hæfni liggur að baki einkunnunum A, B og C.
A lýsir „framúrskarandi hæfni“, B „góðri hæfni“ og C „sæmilegri hæfni“. Þar segir jafnframt að gera megi ráð fyrir að „þorri nemenda“ nái B.
Námskráin notar orðin „af öryggi“ og „fumlaust“ án þess að skilgreina nákvæmlega hvað þau þýða.
Strangt til tekið felur fimi í sér bæði nákvæmni og hraða. En það orðalag sem kemst næst því að lýsa fimi í aðalnámskránni kemur eingöngu fyrir í matsviðmiðum fyrir A. Í viðmiðunum fyrir 10. bekk kemur slíkt orðalag tíu sinnum fyrir í A, en aldrei í B eða C.
Tökum reikning sem dæmi. Við lok 4. bekkjar á A-nemandi að hafa „fumlaust reiknað og beitt náttúrulegum tölum“.
B-nemandi á að hafa „reiknað og beitt náttúrulegum tölum“, og C-nemandi líka, orðrétt eins.
Það eina sem skilur á milli er orðið „fumlaust“, og það er aðeins að finna hjá A-nemendum. Sama mynstur sést í 10. bekk, bæði í reikningi með ræðum tölum og í mælingum.
Fimi er sem sagt sett fram sem eitthvað sem aðeins framúrskarandi nemendur ná, A-nemendur. Samt er hún undirstaða þess að ráða við stærðfræðina þegar hún verður erfiðari.
Það er alltaf hópur nemenda sem lærir stærðfræði nánast óháð því hvernig hún er kennd. En ákveðinn hópur nemenda þarf skýra og markvissa kennslu sem byggir á raunprófuðum aðferðum. Það eru einmitt þessir nemendur sem tapa mest þegar fimi er ekki markmið fyrir alla.
Aðalnámskráin ætti að byggja á kennslustigveldinu og tryggja að allir nemendur fái tækifæri til að ná fimi.
2. Nemendur eiga að „þróa aðferðir“
Í hæfniviðmiðunum, sem allir nemendur eiga að ná, stendur að nemandi geti við lok 4. bekkjar „þróað hentugar aðferðir sem byggja á eigin skilningi við reikning með náttúrulegum tölum“. Sama orðalag gildir um ræðar tölur í 7. bekk. Í matsviðmiðunum á A-nemandi að vera „leiðandi í að þróa lausnaleiðir“, B-nemandi að hafa „tekið þátt í að þróa lausnaleiðir“ og C-nemandi að hafa „tekið þátt í að þróa eigin lausnaleiðir“.
Með þessu orðalagi er gert ráð fyrir að nemendur búi sjálfir til aðferðirnar, í stað þess að læra eina skilvirka aðferð og ná fimi í henni. Þetta er uppgötvunarnám, orðrétt. En ef við fylgjum kennslustigveldinu byggja fyrstu þrjú stigin á skýrri og markvissri kennslu. Það er fyrst á fjórða stiginu, þegar nemendur hafa þekkingu og færni, sem opnari verkefni og sjálfstæð leit að lausnum eiga heima.
Námskráin leggur jafnframt áherslu á að nemendur fái tækifæri til að „ígrunda ólíkar aðferðir og líkön“. Við sem kunnum stærðfræði höfum gaman af því að sýna margar leiðir að sama svari. En þegar nemendur eru að læra nýtt efni hjálpar það þeim ekki. Álagið á vinnsluminnið (hugræna álagið) verður einfaldlega of mikið.
Rittle-Johnson, Star og Durkin sýndu að samanburður á ólíkum lausnaraðferðum gagnaðist nemendum sem þegar kunnu eina aðferð. Hann gagnaðist síður þeim sem voru að læra efnið í fyrsta sinn. Þetta er í samræmi við það sem Kalyuga og félagar kölluðu öfug áhrif sérfræðiþekkingar (e. expertise reversal effect): það sem hjálpar þeim sem kann efnið, getur íþyngt þeim sem er enn að læra.
Á meðan nemendur eru að ná tökum á nýju efni á að kenna eina skilvirka aðferð sem virkar alltaf og þjálfa hana vel. Þegar nemendur hafa náð tökum á henni er upplagt að kynna fleiri leiðir, en ekki fyrr.
Sama gildir um áherslu námskrárinnar á að verkefnin séu „fjölbreytt“. Fjölbreytni er ekki vandamálið í sjálfu sér, heldur fjölbreytni á röngu stigi. Á meðan nemendur eru að tileinka sér efni, þjálfa fimi og yfirfæra efnið þurfa þeir skýra og markvissa kennslu. Fjölbreytnin á heima á þrautalausnarstiginu, þegar nemendur hafa þekkingu og færni til að takast á við hana.
3. Margföldunartaflan er hvergi nefnd í aðalnámskránni
Í hæfniviðmiðum fyrir 4. bekk stendur einungis að nemandi geti „nýtt sér grunnreikniaðgerðirnar fjórar og reiknað með náttúrulegum tölum“. Orðið margföldunartafla kemur hvergi fyrir í kaflanum. Í matsviðmiðunum á jafnvel A-nemandi aðeins að hafa beitt ólíkum reikniaðgerðum „að nokkru leyti“ við lok 4. bekkjar, og hjá B er orðalagið „að nokkru marki“. Námskráin gerir hvergi ráð fyrir að margföldun sé orðin sjálfvirk.
Það eina sem kaflinn segir beinlínis að eigi að þjálfa nemendur í er notkun „verkfæra, hjálpargagna og stafrænna tækja“!
Þetta eru alvarleg mistök. Skilningur er nauðsynlegur, en hann dugar ekki einn og sér. Bandaríska ráðgjafarnefndin um stærðfræðikennslu (National Mathematics Advisory Panel) lagði áherslu á að nemendur gætu kallað margföldunarstaðreyndir fram sjálfvirkt (e. automatic recall). Ástæðan er hversu takmarkað vinnsluminnið er. Nemandi sem þarf að reikna 7 × 8 í hvert sinn eyðir vinnsluminninu sem hann þarf nauðsynlega til að hugsa um sjálft verkefnið. Þegar þessi nemandi byrjar í algebru og þarf að þátta, stytta brot og einfalda stæður verða einföld verkefni allt í einu erfið.
Allir nemendur ættu að skilja og kunna margföldunartöfluna upp í 12 × 12 og fá tækifæri til að þjálfa fimi í henni.
Getum við ekki bara hunsað námskrána?
Margir kennarar vita hvernig á að kenna nýtt efni og gera það vel. Af hverju ekki bara að fylgja rannsóknunum og láta námskrána liggja á milli hluta?
Vegna þess að námsmatið miðast við aðalnámskrána. Skólum er skylt að nota matsviðmiðin við brautskráningu úr 10. bekk. Matsviðmiðin eru vissulega loðin, en þau byggja á hugmyndafræði þar sem nemendur eiga að uppgötva stærðfræðina sjálfir með lítilli leiðsögn. Kirschner, Sweller og Clark fóru yfir rannsóknir á slíkri kennslu, og Alfieri og félagar gerðu safngreiningu (e. meta-analysis) á henni. Niðurstaðan er sú sama: þegar nemendur eru að læra nýtt efni skilar uppgötvun með lítilli leiðsögn lakari árangri en skýr og markviss kennsla.
Að lokum
Aðalnámskrá á að vera öryggisnet fyrir þá nemendur sem læra ekki stærðfræði af sjálfu sér. Í dag virkar hún frekar eins og verðlaun fyrir þá sem gera það. Fimi á ekki að vera eitthvað sem aðeins A-nemendur ná. Hún á að vera markmið fyrir alla, því hún er það sem gerir nemendum kleift að ráða við stærðfræðina þegar hún verður erfiðari.
Eitt sem þú getur gert í dag: Spurðu barnið þitt hvað 7 × 8 er. Ef svarið kemur strax er það frábært. Ef barnið þarf að telja eða reikna sig fram er þar verk að vinna, og það er vel hægt að laga það.
Í næsta pósti skoða ég hvernig stærðfræðibækurnar sem börnin okkar nota eru byggðar upp, og hvernig góð kennslubók ætti að líta út.
Bestu kveðjur,
Gyða Guðjónsdóttir stærðfræðikennari
hjá staerdfraedi.is
Heimildir
Alfieri, L., Brooks, P. J., Aldrich, N. J., og Tenenbaum, H. R. (2011). Does discovery-based instruction enhance learning? Journal of Educational Psychology, 103(1), 1–18. https://doi.org/10.1037/a0021017
Haring, N. G., og Eaton, M. D. (1978). Systematic instructional procedures: An instructional hierarchy. Í N. G. Haring, T. C. Lovitt, M. D. Eaton og C. L. Hansen (ritstj.), The fourth R: Research in the classroom (bls. 23–40). Charles E. Merrill.
Kalyuga, S., Ayres, P., Chandler, P., og Sweller, J. (2003). The expertise reversal effect. Educational Psychologist, 38(1), 23–31. https://doi.org/10.1207/S15326985EP3801_4
Kirschner, P. A., Sweller, J., og Clark, R. E. (2006). Why minimal guidance during instruction does not work. Educational Psychologist, 41(2), 75–86. https://doi.org/10.1207/s15326985ep4102_1
Mennta- og barnamálaráðuneytið. (2024). Aðalnámskrá grunnskóla: Kafli 25. Stærðfræði. Sótt 17. október 2026 af https://www.adalnamskra.is/grunnskoli/kafli-25-staerdfraedi-2024
National Mathematics Advisory Panel. (2008). Foundations for success: The final report of the National Mathematics Advisory Panel. U.S. Department of Education.
Rittle-Johnson, B., Star, J. R., og Durkin, K. (2009). The importance of prior knowledge when comparing examples. Journal of Educational Psychology, 101(4), 836–852. https://doi.org/10.1037/a0016026