Í 13 ár hef ég sagt sömu setninguna við nemendur mína, með handahreyfingum og öllu: „Ef ég legg saman tvær mínustölur, þá fæ ég stóóóra mínustölu.“
Og í 13 ár hef ég séð sama atriðið endurtaka sig. Nemandi reiknar −3 − 5 og fær 8. Ég bendi á villuna og hann segir „ó já“. Daginn eftir gerist nákvæmlega það sama.
Í haust fór ég að kafa ofan í rannsóknirnar og komst að því hvers vegna setningin mín virkar ekki. Svarið kom mér á óvart.
Viltu fara beint í prófið sem ég bjó til? Smelltu þá hér.
Viltu vita hvers vegna það skiptir máli? Lestu þá áfram.
Mínus hefur þrjú hlutverk
Við kennarar eigum oft erfitt með að setja okkur í spor nemenda, því mínus virðist svo einfalt. En sama táknið getur þýtt þrennt ólíkt:
- Frádráttur (binary operation): 5 − 3. Ég er með 5 og tek 3 af.
- Formerki (unary sign): −3. Mínusinn er hluti af tölunni sjálfri. Talan heitir „mínus þrír“, rétt eins og 3 heitir „þrír“.
- Andstæða (opposite of): −(−3). Hér þýðir ytri mínusinn „andstæðan af“. Andstæðan af −3 er 3, á sama hátt og andstæðan af 3 er −3.
Í dæminu −3 − 5 koma tvö fyrstu hlutverkin fyrir hlið við hlið: fyrri mínusinn er formerki og sá seinni frádráttur. Sá sem sér bara „tvo mínusa“ hefur enga leið til að vita hvað á að gera við þá.
Vlassis (2004) sýndi að nemendur sem ráða ekki við að skipta á milli þessara merkinga lenda í vandræðum með dæmi eins og −3 − 5. Kjarni málsins er að margir átta sig ekki á því að formerkið tilheyrir tölunni. Sá skilningur myndast ekki af sjálfu sér heldur þarf að kenna hann sérstaklega (Lamb o.fl., 2012). Og hann skiptir miklu máli þegar kemur að algebru.
Hvers vegna „ó já“?
Árum saman hafa nemendur byggt upp innsæi sem hvílir á náttúrlegum tölum: tölur telja hluti, frádráttur minnkar alltaf og „ekkert“ er minnst.
Neikvæðar tölur brjóta allar þessar reglur.
Rannsóknir á hugtakabreytingu sýna að gamla innsæið hverfur ekki þegar ný þekking bætist við. Það lifir við hliðina á henni og tekur yfir þegar álag eykst eða óvissa kemur upp (Ni & Zhou, 2005; Vosniadou & Verschaffel, 2004). Nemandinn þekkir rétta svarið þegar hann sér það, en getur ekki framkallað það sjálfur. Þaðan kemur „ó já“.
Hér verð ég að vera hreinskilin
Ef neikvæðar tölur eru kenndar sem reglur („mínus og mínus verður plús“, sem gildir í margföldun en ekki í samlagningu og frádrætti) án líkans á bak við (eins og talnalínu), fá nemendur verkfærabundinn skilning í stað tengslaskilnings (Skemp, 1976). Reglurnar alhæfast þá vitlaust: í −3 − 5 sjá margir „tvo mínusa“ og fá út 8.
Verkfærabundinn skilningur er þegar nemandinn veit hvað á að gera, en tengslaskilningur er þegar nemandinn veit hvað á að gera og hvers vegna.
Setningin mín um stóru mínustöluna er líka regla. Hún bjargar deginum, en bætist í safn reglna sem keppa hver við aðra. Á morgun vinnur kannski sú gamla.
Þetta skýrir líka hvers vegna rétt svar strax eftir leiðréttingu segir lítið. Það er frammistaða í núinu, en ekki varanlegt nám. Æfing sem fer öll fram í einni lotu skilar góðri frammistöðu í tímanum en lélegri varðveislu til lengri tíma (Soderstrom & Bjork, 2015).
Góðu fréttirnar
Þetta snýst ekki um þroska eða getu. Bofferding (2014) sýndi að jafnvel nemendur í 1. bekk geta byggt upp nothæf líkön af neikvæðum tölum með markvissri kennslu. Unglingurinn þinn getur þetta. Grunnurinn var bara byggður á reglum en ekki á líkani, og það er hægt að laga.
Hvar stendur þinn unglingur?
Ég er hætt að segja „stóóóra mínustölu“. Í staðinn byrja ég á því að finna út hvaða merkingu mínusinn hefur hjá hverjum nemanda.
Það getur þú líka gert heima. Ég bjó til stutt próf sem sýnir hvar unglingurinn þinn stendur og hvar vandinn liggur. Engin innskráning, ekkert vesen.
Smelltu hér til að láta unglinginn þinn taka prófið
Bestu kveðjur,
Gyða stærðfræðikennari
Heimildir sem vísað er í auk annarra sem tengjast efninu
Bofferding, L. (2014). Negative integer understanding: Characterizing first graders’ mental models. Journal for Research in Mathematics Education, 45(2), 194–245. https://doi.org/10.5951/jresematheduc.45.2.0194
Dunlosky, J., Rawson, K. A., Marsh, E. J., Nathan, M. J., & Willingham, D. T. (2013). Improving students’ learning with effective learning techniques: Promising directions from cognitive and educational psychology. Psychological Science in the Public Interest, 14(1), 4–58. https://doi.org/10.1177/1529100612453266
Ni, Y., & Zhou, Y.-D. (2005). Teaching and learning fraction and rational numbers: The origins and implications of whole number bias. Educational Psychologist, 40(1), 27–52. https://doi.org/10.1207/s15326985ep4001_3
Rittle-Johnson, B., & Star, J. R. (2007). Does comparing solution methods facilitate conceptual and procedural knowledge? An experimental study on learning to solve equations. Journal of Educational Psychology, 99(3), 561–574. https://doi.org/10.1037/0022-0663.99.3.561
Rohrer, D., & Taylor, K. (2007). The shuffling of mathematics problems improves learning. Instructional Science, 35(6), 481–498. https://doi.org/10.1007/s11251-007-9015-8
Soderstrom, N. C., & Bjork, R. A. (2015). Learning versus performance: An integrative review. Perspectives on Psychological Science, 10(2), 176–199. https://doi.org/10.1177/1745691615569000
Vlassis, J. (2004). Making sense of the minus sign or becoming flexible in “negativity”. Learning and Instruction, 14(5), 469–484. https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2004.06.012
Vosniadou, S., & Verschaffel, L. (2004). Extending the conceptual change approach to mathematics learning and teaching. Learning and Instruction, 14(5), 445–451. https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2004.06.014