Hvernig myndi þér líða ef þú ættir að fara að hugsa um eitthvað, sem byggir á einhverju sem þú hefur ekki lært?
Það er í tísku að láta nemendur hugsa og vinna þrautalausnir í stærðfræði, sem er nauðsynlegt, svo lengi sem nemendur hafa náð tökum á þeim grunni sem þarf til að geta hugsað og unnið þrautalausnir.
Árið 2013 fengum við nýja aðalnámskrá í grunnskólum. Sú námskrá var hæfnimiðuð (ekki þekkingarmiðuð) og þá breyttist stefnan. Í stað þess að kenna nemendum efni með beinum og skýrum hætti og gefa þeim tækifæri á að þjálfa upp fimi, þá átti að láta nemendur fatta hlutina á eigin spýtur, svokallað uppgötvunarnám. Í aðalnámskránni er ekki lögð nein áhersla á fimiþjálfun og samkvæmt matsviðmiðunum er það einungis á færi þeirra sem fá A í einkunn. Sem sagt nemendur með B, C og D búa ekki yfir fimi.
Núna eru rannsóknir sem staðfesta að þessi tegund af námi skilar ekki árangri. Það er mikilvægt að kenna stærðfræði með skýrum og beinum hætti, gefa nemendum kost á að þjálfa upp fimi og þegar nemendur eru búnir að ná tökum á efninu og hægt er að nálgast þekkinguna með sjálfvirkni í langtímaminni, þá er frábært að kynna flóknari verkefni eins og þrautalausnir.
En í stærðfræðikennslu á Íslandi og víða erlendis er einmitt þetta gert. Nemendur eru beðnir um að leysa flókin verkefni, „rannsaka” stærðfræði og „uppgötva” lausnir áður en þau hafa lært grunnfærni almennilega.
Þetta er eins og að biðja einhvern um að skrifa ritgerð á íslensku áður en viðkomandi kann stafrófið.
Fjögur stig náms og röðin skiptir máli
Í kennslufræðum er til líkan sem kallast kennslustigveldi (e. instructional hierarchy). Það lýsir fjórum stigum sem nemandi þarf að fara í gegnum þegar hann er að læra nýtt efni:
Stig 1: Tileinkun (e. acquisition)
Nemandinn lærir nýja færni. Hér þarf skýra kennslu, fyrirmyndir og leiðbeiningar. Kennarinn sýnir hvernig á að gera hlutina og nemandinn æfir undir handleiðslu kennarans. Skilningur á efninu skiptir máli. Markmið á þessu fyrsta stigi er að nemandinn þjálfi nákvæmni.
Stig 2: Fimi (e. fluency)
Þegar nemandinn byrjar á þessu stigi, þá reiknar hann rétt en hægt. Á þessu stigi þarf endurtekna æfingu þar til færnin verður sjálfvirk og hröð. Markmið á þessu stigi er að þjálfa hraða.
Stig 3: Alhæfing (e. generalisation)
Nemandinn getur nú beitt færninni í nýjum aðstæðum og samhengi. Hann áttar sig á hvenær á að nota skilvirkar aðferðir sem hann þekkir, jafnvel þegar verkefnið lítur ekki út eins og dæmin sem hann vann á stiginu á undan. Markmið á þessu stigi er að byggja upp sveigjanleika.
Stig 4: Aðlögun og þrautalausnir (e. adaptation and problem solving)
Á þessu stigi getur nemandinn tekist á við verkefni sem hann hefur aldrei séð áður. Hann getur „rannsakað,” prófað sig áfram og leyst vandamál á skapandi hátt. Á stærðfræðihlutanum í PISA prófinu er einmitt verið að prófa þennan þátt, nemandinn þarf að geta tekist á við verkefni sem hann hefur ekki séð áður. Til þess að nemendur geti staðið sig vel í PISA, þurfa nemendur einmitt að hafa farið í gegnum öll stigin þrjú á undan. Markmið á þessu stigi er að geta unnið þrautalausnir.
Af hverju er mikilvægt að læra stærðfræði með því að styðjast við kennslustigveldið?
Ástæðan er einföld og vel rannsökuð: vinnsluminni okkar er takmarkað.
Til dæmis ef nemandi er að leysa flókna jöfnu og þarf að reikna í huganum einfalda margföldun (eða jafnvel taka fram vasareikninn), þá er vinnsluminnið hans fullt. Það er ekkert pláss eftir til að hugsa um verkefnið, hvernig á að nálgast vandamálið, hvaða aðferð á að velja, hvað þýðir svarið.
En þegar margföldun er orðin sjálfvirk, þegar nemandinn þarf ekki að hugsa um hana, þá tekur sú sjálfvirkni ekkert af vinnsluminninu og hægt er að nýta það í að leysa vandamálið sem um ræðir.
Þetta er ekki tíska eða skoðun. Þetta er ein best rannsakaða kenningin í rannsóknum á námi og er kenningin um hugrænt álag (e. cognitive load theory). Hún hefur verið raunprófuð í hundruðum rannsókna.
Hvað er þá að gerast á Íslandi?
Á Íslandi og í mörgum löndum hefur orðið vinsælt að tala um rannsóknarnám, verkefnamiðað nám og þrautalausnir sem meginviðfangsefni stærðfræðikennslu. Hugmyndin er að nemendur eigi að „uppgötva” stærðfræðina sjálfir, oft í hópvinnu.
Þetta er ekki slæm hugmynd, en það er fjórða stigið og síðasta stigið í kennslustigveldinu, ekki fyrsta stigið.
Vandamálið er þegar kennsla byrjar á stigi 4 (aðlögun og þrautalausnir), en nemandinn er á stigi 1 (hann er enn að reyna að skilja grunnfærnina).
Þá verður niðurstaðan:
- Nemandinn upplifir vonleysi.
- Hann heldur að hann geti ekki orðið „góður í stærðfræði”.
- Hann missir áhuga og sjálfstraust.
- Bilið milli hans og þeirra nemenda sem kunna grunninn eykst.
Það á ekki að byrja á rannsóknarnámi og ganga út frá að nemendur geti fattað eitthvað sem tók stærðfræðinga aldir að þróa!
Hvað geta foreldrar gert?
- Athugaðu hvort grunnurinn er traustur. Er unglingurinn þinn að ná að reikna mörg dæmi í röð rétt? Ef ekki, þá þarf að fara til baka í grunninn og leggja áherslu á að skilningur sé til staðar og í framhaldinu þjálfa nákvæmi.
- Æfðu grunnfærni heima. Ef unglingurinn þinn kann ekki margföldunartöfluna, þá er frábær tími að þjálfa hana núna. Þetta er sjálfvirkniþjálfun og hún er ómetanleg þegar stærðfræðin verður flóknari.
- Ekki trúa því að það að þjálfa upp færni sé „gamaldags”. Sumir segja að endurtekning sé úrelt. En skilningur og æfing eru ekki andstæður. Ef nemendur læra einungis að skilja, en ekki að þjálfa upp færnina, þá lenda þessir nemendur í miklum vandræðum þegar stærðfræðin verður flóknari.
- Talaðu við kennarann. Spyrðu hvernig kennslan er byggð upp. Er bein kennsla á nýrri færni hluti af ferlinu? Eða er gert ráð fyrir því að nemendur „finni sjálfir út úr” öllu? Góð kennsla notar bæði, en það þarf að vera í réttri röð þar sem byrjað er á skýrri og beinni kennslu.
Rannsóknarnám, verkefnalausnir og skapandi stærðfræðihugsun eru mikilvæg markmið í stærðfræðinámi. En þau eru einmitt það, markmið, ekki aðferðin til að koma byrjendum af stað.
Röðin í kennslustigveldinu skiptir máli. Fyrst lærir nemandinn. Svo æfir hann sig þar til færnin er sjálfvirk. Þá, og ekki fyrr, getur hann yfirfært og að lokum leyst ný vandamál.
Það er mitt mat að grunnskólinn sé fullur af nemendum sem geta orðið miklir stærðfræðingar, en af því að þeir fá ekki tækifæri á að æfa nákvæmni og síðan fimi, þá hafa þeir ekki fengið þann grunn sem þarf til að leysa skemmtileg og krefjandi stærðfræðiverkefni sem krefjast þess að nemendur séu að nýta þrautalausn til að leysa verkefnin.
Bestu kveðjur,
Gyða stærðfræðikennari
hjá stærðfræði.is
PS. Samkvæmt menntastefnu 2030, þá á að veita nemendum þrepaskiptan stuðning (e. MTSS, multi-tiered system of supports). Þrepaskiptur stuðningur gengur einmitt út á að skima fyrir erfiðleikum og nýta svo kennslustigveldið (e. instructional hierarchy) til að staðsetja á hvaða stigi nemandinn er og koma honum áfram. Kennslustigveldið er því greiningartæki innan þrepaskipts stuðnings. Til dæmis ef það kemur í ljós að nemandi er enn á stigi 1, en ætti að vera kominn á stig 2, þá þarf að hjálpa honum að ná skilningi og nákvæmni. Menntastefnan var samþykkt á Alþingi 2021. Eitt af lykilatriðum í menntastefnunni er þrepaskiptur stuðningur. En bara á milli okkar, þá hefur lítið gerst með þessa menntastefnu, það er eins og hún sé bara gleymd og grafin, sem er miður.
Heimildir:
Haring, N. G. og Eaton, M. D. (1978). Systematic instructional procedures: An instructional hierarchy. Í N. G. Haring, T. C. Lovitt, M. D. Eaton og C. L. Hansen (ritstj.), The fourth R: Research in the classroom (bls. 23–40). Merrill.
Sweller, J. (2011). Cognitive load theory. Í G. Biswas, S. Bull, J. Kay, & A. Mitrovic (ritstj.), Artificial intelligence in education (bls. 37–42). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-
Bloom, B. S. (1984). The 2 Sigma Problem: The Search for Methods of Group Instruction as Effective as One-to-One Tutoring. http://web.mit.edu/5.95/
Gray, E. M. og Tall, D. O. (1994). Duality, ambiguity, and flexibility: A “proceptual” view of simple arithmetic. Journal for Research in Mathematics Education, 25(2), 116–140. https://doi.org/10.2307/749505
Frekari lesning:
Ardoin, S. P., og Daly, E. J., III. (2007). Introduction to the special series: Close encounters of the instructional kind—how the instructional hierarchy is shaping instructional research 30 years later. Journal of Behavioral Education, 16(1), 1–6. https://doi.org/10.1007/
National Center on Intensive Intervention. (2025). Using the learning hierarchy to intensify intervention. https://intensiveintervention.
Wright, J. (e.d.). Instructional hierarchy: Linking stages of learning to effective instructional techniques. Intervention Central. https://www.jimwrightonline.
Centre for Education Statistics and Evaluation. (2017). Cognitive load theory: Research that teachers really need to understand. NSW Department of Education. https://education.nsw.gov.au/
Kirschner, P. A., Sweller, J., & Clark, R. E. (2006). Why minimal guidance during instruction does not work: An analysis of the failure of constructivist, discovery, problem-based, experiential, and inquiry-based teaching. Educational Psychologist, 41(2), 75–86. https://doi.org/10.1207/
Rosenshine, B. (2012). Principles of instruction: Research-based strategies that all teachers should know. American Educator, 36(1), 12–19, 39. https://www.aft.org/ae/